Uno speciale frattale è l’Insieme di Mandelbrot che fa vedere come una semplice operazione ricorsiva possa produrre un oggetto di favolosa varietà e complessità. Il frattale è generato dalla funzione:
dove sia Z che C sono numeri complessi. Questa funzione indica che il numero complesso Z è sostituito dal suo quadrato e sommato ad un numero complesso. A questo punto il risultato viene preso come Z e la funzione si ripete. Rappresentando i numeri complessi ottenuti come punti su un foglio di carta (o sullo schermo di un computer) si ottiene l’insieme di Mandelbrot!
Mandelbrot scoprì il suo frattale quasi per caso nel 1979, mentre conduceva degli esperimenti per conto del Centro Ricerche dell'IBM.
A partire dai primi anni ’60 (e fino ai giorni nostri) l’applicazione della geometria frattale a questioni economiche ha condotto Mandelbrot a mettere in discussione alcuni consolidati fondamenti dell'economia classica e della finanza moderna, quali l’ipotesi di razionalità dei comportamenti degli agenti economici, l’ipotesi dell'efficienza del mercato e quella secondo cui i movimenti dei prezzi di mercato sono descrivibili come un cammino casuale (random walk). L’analisi frattale delle variabili economiche e finanziarie ha portato nell'ultima decade alla nascita della cosiddetta finanza frattale, nella quale Mandelbrot ritiene siano attualmente impegnati almeno un centinaio di ricercatori.
Oltre alla scoperta dei frattali in matematica, Mandelbrot dimostrò che essi possono essere la chiave di lettura delle forme presenti in natura, dando così il via ad una particolare sezione della matematica imperniata sullo studio del caos.
